公务员考试行测技巧：中国的剩余定理

yvonne

　　中国古代著名数学著作<孙子算经>记载，“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此问题为中国剩余定理的原型。下面介绍公务员行测考试中常见的集中情况和中国剩余定理的巧妙应用，以及中国剩余定理在解决实际问题中的应用。

　　一、基本题型

　　例1、以上题为例：物品的个数满足除以3余2，除以5余3，除以7余2，则物品至少有多少个？（  ）

　　A、21　　　B、23　　　C、37　　　D、43

　　解析：选B　　余数问题：待入排除法，选B。

　　例2、（同上题）

　　解析（利用层层推进解法）：满足除以3余2的最小数为2，在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8；在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个数最小为23,。所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，所以满足条件的数可以表示为105N+23(n=0,1,2,3,。。。。。)

　　例3、韩信故乡淮安民间留传着一则故事-----“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数。他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3名；命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个。则该数字是（     ）（2011年上海3月19日公务员考试行测第61题）

　　A、868　　B、998　　C、1073　　D、1298

　　解析：选C.  余数问题：待入排除法，选C.

　　二、同余问题

　　同余问题核心口诀（应先尝试代入法、试值法）

　　同余问题：给出一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题

　　“公倍数作周期：余同取余，和同加和，差同减差。”

　　1、余同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同此时该数可以选这个相同的余数，余同取余例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1；

　　2、和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同此时该数可以选这个相同的和数，和同加和例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7；

　　3、差同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数，差同减差例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3。

　　三．巧妙应用---余同、和同、差同的构造思想有些题目是上面所述的三种情况之一，就可以直接利用其口诀做题，而有些题目不属于这三种特殊情况的任何一种，怎么办呢？

　　例3、某出版社工作人员将一批书打包，每包装11本则多出5本，每包装13本则多出6本，每包装15本，则多出7本，问这批书至少有多少本？（　）

　　A、1072　　B、2144　　C、2145　　D、3217

　　解析：观察发现：余不同，和不同，差不同，但是可以构造出差同的情况——将书的数量乘2.

　　根据余数的性质可知2a除以11余10，除以13余12，除以15余14，此时三者的差均为1，11,13,15的最小公倍数为2145，2a可以表示为2145n-1,2a最小为2144，这批书最少有2144/2=1072。