容斥问题详解

杨嘉胜

一、容斥问题

　　容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。

　　二、题目特点

　　题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。

　　三、常考题型

　　1、二者容斥问题

　　公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集

　　例1:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少？

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。

　　2.三者容斥问题

　　公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2×三者交

　　例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人？

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。

　　3.容斥极值问题

　　容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值，我们可以套用公式解决。

　　①（A∩B）=A+B-I （I表示全集）

　　②（A∩B∩C）=A+B+C-2I

　　③（A∩B∩C∩D）=A+B+C+D-3I

　　例3:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89.

　　问题：

　　①小明和小刚都最对的题目至少有几题？

　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题？

　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题？

　　解析：

　　①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人

　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2×100=58人

　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3×100=47人。